ヒルベルト空間の有用性
ヒルベルト空間はさまざまな分野で活躍する。例えばフーリエ変換である。フーリエ変換はある関数をある関数に置き換える操作（関数空間から関数空間への写像）である。これを拡張したものがヒルベルト空間である。さらに拡張したものとしてバナッサ空間がある。
ヒルベルト空間の定義
（1）ヒルベルト空間とはベクトル空間である。つまり、線形空間である。
（2）ヒルベルト空間には内積が定義される。
（3）ヒルベルト空間は距離d（x,y）に関して完備である。
元々は無限次元とされていたが有限次元でも使われるようになった。この3点だけを理解しておけば十分である。